Question

用1，2，3，4，5，6，7七個數字組成三個兩位數，一個一位數．已知這4個數的各個數位上的數字都不相同，并且4個數的和等于100．如果要求其中最大的兩位數盡可能大，那么這個最大的兩位數是多少？

Answer 1

分析：因為有三個兩位數，一個一位數，所以這7個數字里有3個數字做了十位數字，4個數字做了個位數字．不妨設這7個數字是a，b，c，d，e，f，g；其中a，b，c做了十位數字，d，e，f，g做了個位數字，先根據4個數的和等于100，得出10a+10b+10c+d+e+f+g=100，則d+e+f+g末尾一定是0，由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以d+e+f+g=10或20．分兩種情況討論得出d+e+f+g只能等于20，再分情況討論可知，做十位數字的是5，2，1，做個位數字的是7，6，4，3，由此得出其中最大的兩位數．

解答：解：不妨設這7個數是a，b，c，d，e，f，g；其中a，b，c做了十位數字，d，e，f，g做了個位數字，
那么一定有10a+10b+10c+d+e+f+g=100，
所以d+e+f+g末尾一定是0．
∵1+2+3+4+5+6+7=28，∴d+e+f+g=10或20．
分兩種情況：
①當d+e+f+g=10時，
∵1+2+3+4=10，∴這時5，6，7做十位數字，
但是此時50+60+70+1+2+3+4=190≠100，不合題意，舍去；
②當d+e+f+g=20時，再分情況討論：
Ⅰ）假設用7做十位數字，
∵6+5+4+3=18＜20，∴7只能做個位數字．
Ⅱ）假設用6做十位數字，
∵7+5+4+3=19＜20，∴6也只能做個位數字．
Ⅲ）假設用5做十位數字，
∵7+6+4+3=20，∴此時做十位數字的是5，2，1．
又∵10（5+2+1）+7+6+4+3=100，滿足條件，
∴此時做十位數字的是5，2，1，做個位數字的是7，6，4，3．
∵要最大的兩位數，∴十位取5，個位取7，
故這個最大的兩位數是57．

點評：本題考查了數的十進制的有關知識及尾數特征，屬于競賽題型，有一定難度．運用分類討論思想是解決本題的關鍵．