Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C，且OC＝2OA．

（1）該拋物線的解析式為　 　；

（2）直線y＝kx+l（k＞0）與y軸交于點D，與直線BC交于點M，與拋物線上直線BC上方部分交于點P，設m＝，求m的最大值及此時點P的坐標；

（3）若點D、P為（2）中求出的點，點Q為x軸的一個動點，點N為坐標平面內一點，當以點P、D、Q、N為頂點的四邊形為矩形時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）當n＝2時，m有最大值，最大值為，此時P（2，4）；（3）滿足條件的點N坐標為（，3）或（6，﹣3）．

【解析】

（1）因為拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，0）、B（4，0）兩點，所以可以假設y=a（x+2）（x-4），求出點C坐標代入求出a即可；

（2）由△CMD∽△FMP，可得，根據m關于n的二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；

（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形．分兩種情形討論：①當DP是矩形的邊時，有兩種情形；②當DP是對角線時，利用相似三角形的性質和勾股定理可求解．

（1）因為拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，

所以可以假設y＝a（x+2）（x﹣4），

∵OC＝2OA，OA＝2，

∴C（0，4），代入拋物線的解析式得到a＝﹣，

∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，

故答案為：y＝﹣x2+x+4；

（2）如圖1中，由題意，點P在y軸的右側，作PE⊥x軸于E，交BC于F．

∵CD∥PE，

∴△CMD∽△FMP，

∴m＝，

∵直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，則D（0，1），

∵BC的解析式為y＝﹣x+4，

設P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），

∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，

∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴當n＝2時，m有最大值，最大值為，此時P（2，4）；

（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形．

①當DP是矩形的邊時，有兩種情形，

a、如圖2﹣1中，四邊形DQNP是矩形時，

有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，

∴直線DP的解析式為y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），

由△DOE∽△QOD可得，

∴OD2＝OEOQ，

∴1＝OQ，

∴OQ＝，

∴Q（，0）．

根據矩形的性質，將點P向右平移個單位，向下平移1個單位得到點N，

∴N（2+，4﹣1），即N（，3）

b、如圖2﹣2中，四邊形PDNQ是矩形時，

∵直線PD的解析式為y＝x+1，PQ⊥PD，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+，

∴Q（8，0），

根據矩形的性質可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N，

∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．

②當DP是對角線時，設Q（x，0），則QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，

∵Q是直角頂點，

∴QD2+QP2＝PD2，

∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，

整理得x2﹣2x+4＝0，方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（，3）或（6，﹣3）．