Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點M為拋物線上一動點，是否存在點M，使△ACM與△ABC的面積相等？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在x軸上是否存在點N使△ADN為直角三角形？若存在，確定點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）點M的坐標為（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）點N的坐標為（1，0）或（﹣7，0）．

【解析】試題分析：（1）先求得點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得b，c的值即可；

（2）設M的坐標為（x，y），由△ACM與△ABC的面積相等可得到|y|=3，將y=3或y=-3代入拋物線的解析式求得對應的x的值，從而得到點M的坐標；

（3）先利用配方法求得點D的坐標，當∠DNA=90°時，DN⊥OA，可得到點N的坐標，從而得到AN=2，然后再求得AD的長；當∠N′DA=90°時，依據sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的長，從而可得到N′的解析式．

試題解析：（1）將x=0代入AB的解析式得：y=3，

∴B（0，3）．

將y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，

A（3，0）．

將點A和點B的坐標代入得： ，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）設M的坐標為（x，y）．

∵△ACM與△ABC的面積相等，

∴AC|y|=ACOB．

∴|y|=OB=3．

當y=3時，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，

∴M（2，3）、（0、3）．

當y=﹣3時，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．

∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

綜上所述點M的坐標為（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①當∠DNA=90°時，如圖所示：

∵∠DNA=90°時，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

∵DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②當∠N′DA=90°時，則DN′A=∠NDA．

∴，即，解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

綜上所述點N的坐標為（1，0）或（﹣7，0）．