Question

【題目】如圖，點E是矩形ABCD邊AB上一動點（不與點B重合），過點E作EF⊥DE交BC于點F，連接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，設A，E兩點間的距離為xcm，△DEF面積為ycm2．

小明根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．

下面是小明的探究過程，請補充完整：

（1）確定自變量x的取值范圍是　 　；

（2）通過取點、畫圖、測量、分析，得到了x與y的幾組值，如表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	…
y/cm2	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…

（說明：補全表格時相關數值保留一位小數）

（3）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；

（4）結合畫出的函數圖象，解決問題：當△DEF面積最大時，AE的長度為　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）0≤x＜4；（2）3.8，4.0;（3）見解析;（4）0，2．

【解析】

（1）利用點E在線段AB上，即可得出結論；
（2）先判斷出△ADE∽△BEF，得出，進而表示出BF=，再取x=1和x=2求出y的即可；
（3）利用畫函數圖象的方法即可得出結論；
（4）由圖象可知，即可得出結論．

（1）∵點E在AB上，

∴0≤x＜4，

故答案為：0≤x＜4；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADE+∠AED＝90°，

∵EF⊥DE，

∴∠AED+∠BEF＝90°，

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴△ADE∽△BEF，

∴，

∵AE＝x，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，

∴，

∴BF＝，

當x＝1時，BF＝，

∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×＝3.75≈3.8，

當x＝2時，BF＝2，

∴CF＝BC﹣BF＝0，此時，點F和點C重合，

y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣×2×2﹣×2×2＝4.0

故答案為：3.8，4.0

（3）描點，連線，畫出如圖所示的圖象，

（4）由圖象可知，當x＝0或2時，△DEF面積最大，

即：當△DEF面積最大時，AE＝0或2，

故答案為0，2．