Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx﹣3過點A（1，0），直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為﹣2，點P是線段AD上的動點．

（1）b＝　 　，拋物線的頂點坐標為　 　；

（2）求直線AD的解析式；

（3）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，連接AQ，DQ，當△ADQ的面積等于△ABD的面積的一半時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．

【解析】

（1）將點A的坐標代入函數解析式求得b的值，然后利用配方法將函數解析式轉化為頂點式，可以直接求得頂點坐標；

（2）結合（1）中拋物線解析式求得點D的坐標，利用點A、D的坐標來求直線AD解析式；

（3）由二次函數圖象上點的坐標特征求得點B的坐標，易得AB＝4．結合三角形面積公式求得S△ABD＝6．設P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．則PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．根據已知條件列出方程（﹣m2﹣m+2）＝3．通過解方程求得m的值，即可求得點Q的坐標．

解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．

解得b＝2．

故該拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．

故頂點坐標是（﹣1，﹣4）．

故答案是：2；（﹣1，﹣4）．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3．

當x＝﹣2，則y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，

∴點D的坐標是（﹣2，﹣3）．

設直線AD的解析式為：y＝kx+t（k≠0）．

把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分別代入，得．

解得．

∴直線AD的解析式為：y＝x﹣1；

（3）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

∴AB＝4．

∴S△ABD＝×4×3＝6．

設P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．

則PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．

∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ（1﹣m）+PQ（m+2）＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．

當△ADQ的面積等于△ABD的面積的一半時，（﹣m2﹣m+2）＝3．

解得m1＝0，m2＝﹣1．

∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．