Question

如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y = ax²＋bx＋2經過點A（m，0），B（2，0），D 三點．
（1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象；
（2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E, 延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數， 并求出S的最大值及S最大時點P的坐標；
（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．

Answer 1

（1），（–4，0），作圖見解析；（2），其中–4 < x < 0，12，（–2，2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，由y = ax²＋bx＋2經過B（2，0），D ，將兩點坐標分別代入得關于a，b的二元一次方程組，解之即可得拋物線的解析式為；將A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A點的坐標描點作出函數圖象.
（2）根據得到四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數；應用二次函數最值原理求出S的最大值及S最大時點P的坐標.
（3）應用待定系數法求出PB所在直線的解析式，設出上的任一點的坐標，求出其關于x軸的對稱點的坐標，代入PB所在直線的解析式，滿足即得結論.
試題解析：（1）∵y = ax²＋bx＋2經過B（2，0），D ，
∴，解得
∴拋物線的解析式為.
∵A（m，0）在拋物線上，∴，解得.
∴A（–4，0）.
作拋物線的大致圖象如下：

（2）∵由題設知直線l的解析式為，∴.
又∵AB=6，∴.
∴將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數為，其中–4 < x < 0.
∵，
∴S_最大= 12，此時點P的坐標為（–2，2）.

（3）∵ 直線PB過點P（–2，2）和點B（2，0），
∴PB所在直線的解析式為.
設Q是上的任一點，則Q點關于x軸的對稱點為.
將代入顯然成立.
∴直線l上任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在的直線上   .