Question

若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”。
（1）請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數；
（2）已知關于x的二次函數y₁=2x²—4mx+2m²+1，和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的圖象經過點A（1，1），若y₁+y₂為y₁為“同簇二次函數”，求函數y₂的表達式，并求當0≤x≤3時，y₂的最大值。

Answer 1

（1）本題為開放題，答案不唯一，符合題意即可，如：；
（2），當時，的最大值為20.

試題分析：（1）本題為開放題，答案不唯一，符合題意即可，如：；
（2）把點A（1,1）代入函數的解析式，可解得，于是得到；因為與是“同簇二次函數”，可設，于是得到.將點（0,5）代入上式，可求得k的值，從而求得函數y₂的表達式.再根據的函數圖象即可求得當時， 的最大值.
試題解析：（1）本題為開放題，答案不唯一，符合題意即可，如：；
（2）∵函數的圖象經過點A（1,1），則，解得，
∴.
解法一：∵與是“同簇二次函數”，∴可設，
則。
由題意可知函數的圖象經過點（0,5），則，∴k-2=5，∴.
解法二：∵與是“同簇二次函數”，
∴，
∴，化簡得b=-2a，
又，將代入，解得a=5，b=-10，
∴.
當時，根據的函數圖象可知，的最大值=.