Question

（2011•濰坊）如圖，AB是半徑O的直徑，AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC．過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q．
（1）求證：△ABC∽△OFB；
（2）當△ABD與△BFO的面枳相等時，求BQ的長；
（3）求證：當D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點．

Answer 1

證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圓的切線，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ACB∽△OBF．
解：（2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO，
∴AD=1，
又DPQ是半圓O的切線，
∴OP=1，且OP⊥DP，
∴DQ∥AB，
∴BQ=AD=1
（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF=，
∵DPQ是半圓O的切線，
∴AD=DP，QB=BQ，
過Q點作AM的垂線QK，垂足為K，在直角三角形DQK中，
DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=（AD﹣BQ）²+2²．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q為BF的中點．

略