Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）設OE交⊙O于點F，若DF = 2，BC = ，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得∠OCE=90°，再根據垂徑定理得到CD=BD，則OD垂中平分BC，所以EC=EB，接著證明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）設⊙O的半徑為R，則OD=R–DF=R–2，OB=R，利用勾股定理得(R–2)2+(2)2=R2，解得R=4，然后可根據現有條件推出∠BOD=60°，∠BOC=120°，接著計算出，然后利用陰影部分的面積=S四邊形OBEC-S扇形OBC進行計算即可．

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵CE為切線，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB，

在△OCE和△OBE中，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE與⊙O相切；

（2）解：設⊙O的半徑為R，則OD=R–DF=R–2，OB=R，

，

在Rt△OBD中，

∵ OD2+BD2=OB2，

∴(R–2)2+(2)2=R2，

解得R=4，

∴OD=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，

∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，

∵OB=4，∠BOE=60°，

∴在Rt△OBE中，，

∴S陰影=S四邊形OBEC-S扇形OBC

=2××4×-

=．