Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c與直線交于點(diǎn)A和點(diǎn)E，點(diǎn)A在x軸上．拋物線y＝ax2+x+c與x軸另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，），直線與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和拋物線y＝ax2+x+c的函數(shù)表達(dá)式；

（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AE以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，連接AC、CQ、PQ．

①當(dāng)△APQ是以AP為底邊的等腰三角形時，求t的值；

②在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，△ACQ的面積記為S1，△APQ的面積記為S2，S＝S1+S2，當(dāng)S＝時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）①；②．

【解析】

（1）根據(jù)題意首先求出A、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）①如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AP于點(diǎn)F，則AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，證得OD∥QF，得出，可求出t的值；

②如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥AQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，證明△AOD∽△CMD，求出CM，則S1可用t表示，證明△AOD∽△AQN，求出QN，則S2可用t表示，則可得出t的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵直線與y軸交于點(diǎn)D，

∴x＝0時，y＝，

∴D（0，），

∵直線與x軸交于點(diǎn)A，

∴y＝0時，＝0，

∴x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，），

∴，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）①如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AP于點(diǎn)F，

若AQ＝PQ，則AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，

∵OD⊥AP，QF⊥AP，

∴OD∥QF，

∴，

∵D（0，），A（﹣1，0），

∴OD＝，AO＝1，

∴AD＝＝＝，

∴，

解得：t＝．

∴t＝時，△APQ是以AP為底邊的等腰三角形．

②如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥AQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵∠ADO＝∠CDM，∠AOD＝∠CMD＝90°，

∴△AOD∽△CMD，

∴，

∵CD＝OC﹣OD＝，AD＝，OA＝1，

∴，

∴CM＝，

∴S△ACQ＝S1＝AQ×CM＝＝，

∵OD⊥x軸，QN⊥x軸，

∴OD∥QN，

∴△AOD∽△AQN，

∴，

∴，

∴QN＝t，

∴S△APQ＝S2＝AP×QN＝＝，

∵S1+S2＝，

∴，

∴，

解得：t＝．

即當(dāng)S＝時，t的值為．