Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接BC、AC，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式、
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)Q在線段BC上，使得以點(diǎn)Q、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若存在點(diǎn)Q，請(qǐng)任選一個(gè)Q點(diǎn)求出△BDQ外接圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）（1，0），；（3）（2，）或（，）；（4）（，）．

試題分析：（1）設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+2）（x﹣4），把點(diǎn)C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函數(shù)的解析式；
（2）由（1）中拋物線的解析式求出對(duì)稱軸方程，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；
（3）根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)角不能確定，故應(yīng)分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB兩種情況進(jìn)行討論；
（4）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）時(shí)，設(shè)圓心的M（，y），根據(jù)MD=MQ即可求出y的值，故可得出結(jié)論．
試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+2）（x﹣4），把點(diǎn)C（0，3）代入得，a（0+2）（0﹣4）=3，解得，
∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為：；
（2）∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．設(shè)直線BC的解析式為；，∴，解得，∴直線BC的解析式為．
（3）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，∴BC=，
如圖1，當(dāng)∠QDB=∠CAB時(shí)，=，=，解得QB=，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，∵OC⊥x軸，∴QH∥CO．∴=．解得QH=．把代入，得．∴此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）；
如圖2，當(dāng)∠DQB=∠CAB時(shí)，=，即=，得QB=．過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G，∵OC⊥x軸，∴QG∥CO．∴=．解得QG=．把代入，得．∴此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．
綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，）或（，）；
（4）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）時(shí)，設(shè)圓心的M（，y）．∵M(jìn)D=MQ，∴，解得，∴M（，）．