Question

已知四邊形ABCD中，BC=DC，對角線AC平分∠BAD．
（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別為垂足．求證：△BCE≌△DCF．
（2）如果AB=21，AD=9．BC=DC=10，求對角線AC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．

（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足為H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB為等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH²=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=15²+8²=17²
∴AC=17．
分析：（1）由角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，易證明△BCE≌△DCF．
（2）需要作一條輔助線，可在AB上取一點G使AG=AD，則有△ADC≌△AGC，易證△CGB為等腰三角形，過C作CH⊥GB，在Rt△ACH中可求得AC的長．
點評：此題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等及三角形全等的證明，輔助線、勾股定理的利用等知識點，推理較為復雜．