Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE，AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE=2，AF=

【解析】

（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先連接AE，設CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2 ．然后由tan∠ABF=，求得答案．

（1）證明：如圖，連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切線，

∴∠FAB=90°，

即∠DAB+∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，

∴∠ABC=2∠ABD．

∴∠ABC=2∠CAF．

（2）解：如圖，連接AE．

∴∠AEB=90°．

設CE=x，

∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．

在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2 ．

即（2）2=x2+（3x）2 ．

∴x=2．

∴CE=2，

∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．

∵tan∠ABF=．

∴．

∴AF=．