Question

【題目】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F，當點E從B點出發順時針運動到D點時，點F經過的路徑長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點，由G的坐標確定出OG的長，在直角三角形AOG中，利用勾股定理求出AO的長，進而確定出AB的長，由CG+GO求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數定義求出∠ACO的度數，進而確定出所對圓心角的度數，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長．

連接AC，AG．

∵GO⊥AB，∴O為AB的中點，即AO＝BOAB．

∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根據勾股定理得：AO，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根據勾股定理得：AC．

∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，∴當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長．在Rt△ACO中，tan∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴度數為60°．

∵直徑AC＝2，∴的長為π，則當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長π．

故答案為：π．