Question

已知，如圖，設∠MON=20°，A為OM上一點，OA=4

3

，D為ON上一點，OD=8

3

，C為A由任一點，B是OD上任意一點．求：折線ABCD的長度的最小值．

Answer 1

分析：作A關于ON的對稱點A′，連接A′B，作D關于OM的對稱點D′，連接CD′，連接OA′、OD′、A′D′，由折線ABCD長=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，然后轉化為求A′D′的長度，結合勾股定理及軸對稱的性質即可解答．

解答：解：作A關于ON的對稱點A′，
連接A'B，作D關于OM的對稱點D′，
連接CD′，連接OA′、OD′、A′D′（如圖）
∴AB=A′B，CD=CD′，
由折線ABCD長=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，
∴折線ABCD長的最小值是線段A′D′的長，
∵∠NOA′=∠MON=20°，∠D′OM=∠MON=20°，
∴∠D′OA′=60°，
又∵OA′=OA=4

3

，OD′=OD=8

3

，
∴∠OA′D′=90°，
∴A'D'=

OD′2-OA′2

=

(8 3 )2-(4 3 )2

=12．
∴折線ABCD長度的最小值為12．

點評：本題考查軸對稱的性質及最短路徑問題，難度較大，關鍵是根據軸對稱的性質將所求的線段和轉化為一條線段上去．