Question

如圖,已知拋物線與坐標軸交于三點,點的橫坐標為,過點的直線與軸交于點,點是線段上的一個動點,于點．若,且．

（1）求的值
（2）求出點的坐標（其中用含的式子表示）：
（3）依點的變化,是否存在的值,使為等腰三角形？

Answer 1

(1)b=,c=3;
(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;
(3)當t=或或時,△PQB為等腰三角形．

解析試題分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線中即可求得待定系數的值．
（2）根據拋物線的解析式可求得B點的坐標,即可求出OB,BC的長,在直角三角形BPH中,可根據BP的長和∠CBO三角函數求出PH,BH的長,進而可求出OH的長,也就求出了P點的坐標．Q點的坐標,可直接由直線CQ的解析式求得．
（3）本題要分情況討論：
①PQ=PB,此時BH=QH=BQ,在（2）中已經求得了BH的長,BQ的長可根據B、Q點的坐標求得,據此可求出t的值．
②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值．
③PQ=BQ,已經求得了BH的長,可表示出QH的長,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表達式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值．
試題解析：（1）已知拋物線過A（﹣1,0）、C（0,3）,則有：
,
解得,
因此b=,c=3;
（2）令拋物線的解析式中y=0,則有﹣x²+ x+3=0,
解得x=﹣1,x=4;
∴B（4,0）,OB=4,
因此BC=5,
在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,
∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,
在直角三角形BHP中,BP=5t,
因此PH=3t,BH=4t;
∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,
因此P（4﹣4t,3t）．
令直線的解析式中y=0,則有0=﹣x+3,x=4t,
∴Q（4t,0）;
（3）存在t的值,有以下三種情況
①如圖1,當PQ=PB時,
∵PH⊥OB,則QH=HB,
∴4﹣4t﹣4t=4t,
∴t=,
②當PB=QB得4﹣4t=5t,
∴t=,
③當PQ=QB時,在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²,
∴（8t﹣4）²+（3t）²=（4﹣4t）²,
∴57t²﹣32t=0,
∴t=,t=0（舍去）,
又∵0＜t＜1,
∴當t=或或時,△PQB為等腰三角形．
考點：二次函數綜合題．