Question

已知方程有兩個不同的實數根，方程也有兩個不同的實數根，且其兩根介于方程的兩根之間，求k的取值范圍．

Answer 1

a－4＜k＜a² .

解析試題分析：一方面由一元二次方程根的判別式得出k＜a²；另一方面由二次函數y₁＝x²＋2ax＋a－4和y₂＝x²＋2ax＋k，它們的對稱軸相同，且與x軸都有兩個不同的交點，從而根據y₂與x軸的兩個交點都在y₁與x軸的兩個交點之間得到y₂與y軸的交點在y₁與y軸的交點上方，即k＞a－4.
試題解析：∵方程有兩個不同的實數根，
∴△₁＞0，而△₁＝4a²－4(a－4)＝4(a－)²＋15≥15.
又∵方程x²＋2ax＋k＝0也有兩個不同的實數根，
∴△₂＝4a²－4k＞0，即k＜a² .
對于二次函數y₁＝x²＋2ax＋a－4和y₂＝x²＋2ax＋k，它們的對稱軸相同，且與x軸都有兩個不同的交點，
∵y₂與x軸的兩個交點都在y₁與x軸的兩個交點之間，
∴y₂與y軸的交點在y₁與y軸的交點上方，如圖.
∴k＞a－4 .
∴k的取值范圍是：a－4＜k＜a² .

考點：1.一元二次方程根的判別式；2. 一元二次方程與二次函數的關系；3.數形結合思想的應用.