Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點A(-3，0）、B(，0），它與y軸相交于點C，且∠ACB≥90°，設該拋物線的頂點為D，△BCD的邊CD上的高為h．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求高h的取值范圍；

（3）當（1）的實數a取得最大值時，求此時△BCD外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）0＜a≤；（2）0＜h≤；（3）2．

【解析】

（1）利用直角三角形各邊的關系，求得OC2=OAOB，利用邊角關系，代入a值解得．
（2）過D作DE⊥OC，延長DC交x軸于點H，過點B作BF⊥CH于點F．利用頂點公式求得點D，由OC≤3，則tan∠OHC=≤，從而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，連接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．

解：（1）當∠ACB＝90°時，OC2＝OAOB，

得OC＝3

又∠ACB≥90°，

故OC≤3，

所以9a≤3，

∴0＜a≤．

（2）過D作DE⊥OC，延長DC交x軸于點H，過點B作BF⊥CH于點F．

因為D為拋物線的頂點，

所以D（-，﹣12a），OE＝12a，

又∵OC＝9a，CE＝3a，DE＝，

易證△HCO∽△DCE，

有＝3，

故OH＝3DE＝3，BH＝OH﹣OB＝2，

又OC≤3，則tan∠OHC＝≤，

于是0＜∠OHC＜30°，

則h＝BF＝BHsin∠BHF≤BHsin30°＝，

從而0＜h≤．

（3）當a取最大值時，a＝，

此時h＝，B（，0），C（0，﹣3），D（-，﹣4），

可求BD＝2，BC＝2，

作直徑DG，易證△DGB∽△BCF，，

所以 ．

故DG＝4，

即△BCD外接圓的半徑為2．