Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AD=16，BC=21，CD=13．

（1）求直線AD和BC之間的距離；

（2）動點P從點B出發，沿射線BC以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長度的速度運動，點P、Q同時出發，當點Q運動到點D時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．試求當t為何值時，以P、Q、D、C為頂點的四邊形為平行四邊形？

（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使△PQD為等腰三角形？若存在，請直接寫出相應的t值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）5s或；（3）s或s或s

【解析】

（1）AD與BC之間的距離即AB的長，如下圖，過點D作BC的垂線，交BC于點E，在RtDEC中可求得DE的長，即AB的長，即AD與BC間的距離；

（2）四邊形QDCP為平行四邊形，只需QD=CP即可；

（3）存在3大類情況，情況一：QP=PD，情況二：PD=QD，情況三：QP=QD，而每大類中，點P存在2種情況，一種為點P還未到達點C，另一種為點P從點C處返回．

（1）如下圖，過點D作BC的垂線，交BC于點E

∵∠B=90°，AD∥BC

∴AB⊥BC，AB⊥AD

∴AB的長即為AD與BC之間的距離

∵AD=16，BC=21，

∴EC=5

∵DC=13

∴在RtDEC中，DE=12

同理，DE的長也是AD與BC之間的距離

∴AD與BC之間的距離為12

（2）∵AD∥BC

∴只需QD=PC，則四邊形QDCP是平行四邊形

QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21

∴16－t=21－2t或16－t=2t－21

解得：t=5s或t=

（3）情況一：QP=PD

圖形如下，過點P作AD的垂線，交AD于點F

∵PQ=PD，PF⊥QD，

∴QF=FD

∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°

∴四邊形ABPF是矩形，

∴AF=BP

由題意得：AQ=t，則QD=16－t，QF=8－，AF=8+

BP=2t或BP=21－(2t－21)=42－2t

∵AF=BP

∴8+2t或8+42－2t

解得：t=或t=

情況二：PD=QD，圖形如下，過點P作AD的垂線，交AD于點F

同理QD=16－t，PF=AB=12

BP=2t或21－(2t－21)=42－2t

則FD=AD－AF=AD－BP=16－2t或FD=16－(42－2t)=2t－26

∴在RtPFD中，或

∵PD=QD，

∴

∴或

解得：2個方程都無解

情況三：QP=QD，圖形如下，過點P作AD的垂線，交AD于點F

同理：QD=16－t，FP=12

BP=2t或BP=42－2t

QF=AF－AQ=BP－AQ=2t－t=t或QF=42－2t－t=42－3t

在RtQFP中，或

∵PQ=QD，

∴

∴或

第一個方程解得：t=，第二個方程解得：無解

綜上得：t=或或