Question

【題目】已知x2+（a+3）x+a+1=0是關于x的一元二次方程．

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若方程的兩個實數根為x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）a的值為﹣2+ 或﹣2﹣．

【解析】【試題分析】

（1）欲證明方程總有兩個不相等的實數根，只需證明根的判別式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，從而得證；

（2）根據韋達定理，將x12+x22=10轉化為兩根之和與兩根之積的形式，代入得到關于a的方程，從而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.

【試題解析】

（1）證明：△=（a+3）2﹣4（a+1）

=a2+6a+9﹣4a﹣4

=a2+2a+5

=（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據題意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，

∵x12+x22=10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，

整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，

即a的值為﹣2+或﹣2﹣．