Question

【題目】如圖，在矩形中，，，平分，過點作于點，延長，交于點，下列結論中：①；②；③；④．正確的是（ ）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

求出OA=OC=OD=OB，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等邊三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根據以上結論推出即可．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AD= ，AB=1，

,

∴∠ADB=30°，

∴∠ABO=60°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，

∴△ABO是等邊三角形，

∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=BO，

∴BF=BO，

∴②正確；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，

∴∠CAH=15°，

∵CE⊥BD，

∴∠CEO=90°，

∵∠EOC=60°，

∴∠ECO=30°，

∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，

∴AC=CH，

∴③正確；

作HG⊥BC的延長線于點G，

∴HG∥AB，∠BAF=∠FHG=45°，

∴∠CHG=∠FHG-∠H=45°-15°=30°，

∵AB=1，AD= ，

∴BD=AC=CH=2，

∴,

∵∠BAF=∠FHG=45°，∠AFB=∠HFG，

∴△ABF∽△HGF，

即

，

故①錯誤；

∵△AOB是等邊三角形，

∴AO=OB=AB，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，△COD是等邊三角形，

∵CE⊥BD，

，

即BE=3ED，∴④正確；

即正確的有②③④3個，

故選：D．