Question

【題目】如圖，BD為∠ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD的延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足，下列結論：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正確的是（　）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】∵BD為∠ABC的角平分線，

∴∠ABE=∠CBE，

又BD=BC，BA=BE，

∴∠BCD= (180°∠CBE)，∠BEA= (180°∠ABE)，即∠BCD=∠BEA，

又∠BDC=∠ADE，

∴△ADE∽△BCD，

∴，∠DAE=∠CBE，

∴∠ABE=∠DAE，

又∠ADB=∠EDC，

∴△ADB∽△EDC，

∴∠ACE=∠ABE，故選項①正確；

∴A、B. C.E四點共圓，

∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，

∴∠BCE+∠BCD=180°，故選項②正確；

∴∠DAE=∠ACE，

∴AE=EC，故選項③正確；

過E作BC延長線的垂線，垂足為M，如圖所示：

∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，

∴∠BAE=∠ECM，

又BE為∠ABC平分線，EF⊥AB，EM⊥BM，

∴EF=EM，

在△AEF和△CEM中， ，

∴△AEF≌△CEM(AAS)，

∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，

則BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，

故選項④正確，

則其中正確的是①②③④.

故選：D.