Question

【題目】在正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于點Q.

(1)如圖①，當點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數量關系，并加以證明；

(2)如圖②，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）PB＝PQ.證明見解析；（2）PB＝PQ.證明見解析.

【解析】試題分析：（1）過P作PE⊥BC，PF⊥CD，證明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；

（2）證明思路同（1）．

試題解析：（1）PB=PQ，

證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，

證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．