Question

【題目】如圖，在正方形中，邊長為的等邊三角形的頂點分別在和上，下列結論：，其中正確的序號是(　　)

A.①②④B.①②C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據正方形的性質可得∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD，然后等邊三角形的性質可得AE=AF，∠EAF=60°，然后利用HL即可證出Rt△ABE≌Rt△ADF，從而證出BE=DF，∠BAE=∠DAF，即可判斷①；先求出∠BAE，根據直角三角形的性質即可判斷②；證出AE≠2BE，即可判斷③；設正方形的邊長為x，求出CE，最后利用勾股定理列出方程即可求出x，從而判斷④．

解：∵四邊形ABCD為正方形

∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD

∵△AEF為等邊三角形

∴AE=AF，∠EAF=60°

在Rt△ABE和Rt△ADF中

∴Rt△ABE≌Rt△ADF

∴BE=DF，∠BAE=∠DAF

∴BC－BE=CD－DF

∴CE=CF，故①正確；

∴∠BAE=∠DAF=（∠BAC－∠EAF）=15°

∴∠AEB=90°－∠BAE=75°，故②正確；

在Rt△ABE中，∠BAE≠30°

∴AE≠2BE

∴EF≠BE＋DF，故③錯誤；

設正方形的邊長為x，

∵CE=CF，∠C=90°，EF=2

∴△CEF為等腰直角三角形

∴∠CEF=45°

∴CE=

則BE=BC－CE=x－

在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2

∴x2＋（x－）2=22

解得：x1=，x2=（不符合實際，舍去）

∴=，故④正確．

綜上：正確的有①②④．

故選A．