Question

如圖，在直角坐標系中，點O′的坐標為（-2，0），⊙O′與x軸相交于原點O和點A，又B，C兩點的坐標分別為（0，b），（1，0）．
（1）當b=3時，求經過B，C兩點的直線的解析式；
（2）當B點在y軸上運動時，直線BC與⊙O′有哪幾種位置關系？并求每種位置關系時b的取值范圍．

Answer 1

（1）設經過B，C兩點的直線的解析式為y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入得

b=3 k+b=0

，
解得

k=-3 b=3

．
故直線的解析式為y=-3x+3．

（2）點B在y軸上運動時，直線BC與⊙O'的位置關系有相離、相切、相交三種．
當點B在y軸上運動到點E時，恰好使直線BC切⊙O'于點M，連接O'M，則O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，CO'=3，O'M=2，
∴CM=

5

．
由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得

OE

O′M

=

CO

CM

．
∴OE=

2 5

5

．
由圓的對稱性可知，當b=±

2 5

5

時，直線BC與圓相切；
當b＞

2 5

5

或b＜-

2 5

5

時，直線BC與圓相離；
當-

2 5

5

＜b＜

2 5

5

時，直線BC與圓相交．