Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于C點．
（1）試判斷b與c的積是正數還是負數，為什么？
（2）如果AB=4，且當拋物線y=-x²+bx+c的圖象向左平移一個單位時，其頂點在y軸上．
①求原拋物線的表達式；
②設P是線段OB上的一個動點，過點P作PE⊥x軸交原拋物線于E點．問：是否存在P點，使直線BC把△PCE分成面積之比為3：1的兩部分？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由圖象知：c＞0，且x=-＞0，即b＞0，
因此bc＞0，

（2）由題意知：原拋物線的對稱軸為x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
已知A、B均在原拋物線上，則有：
，
解得，
∴原拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

②如圖：設直線BC與PE的交點為F，
由于△CEF和△CPF等高，因此面積比等于EF和PF的比．
易知：直線BC的解析式為：y=-x+3，
設P點坐標為（m，0），（m＞0）則有E（m，-m²+2m+3），F（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=m（-m+3），PF=-m+3，
①當EF：PF=3：1時，=，解得m=3，經檢驗m=3是增根，不合題意舍去；
②當EF：PF=1：3時，=，解得m=，經檢驗m=是原方程的解．
∴存在符合條件的P點，且坐標為P（，0）．
分析：（1）由圖象可知：拋物線與y軸交點在y軸正半軸，因此c＞0，拋物線對稱軸在y軸右側，那么對稱軸方程也大于0據此可求出b的符號，進而可求出b、c積的符號．
（2）①拋物線對稱軸向左平移一個單位時，拋物線對稱軸為y軸，則說明原拋物線的對稱軸為x=1，可根據AB=4，求出A、B的坐標，然后代入拋物線的解析式中，即可求出原拋物線的解析式．
②如果設PE與BC的交點為F的話，那么EF長就是兩函數差的絕對值，而PF的長就是直線BC的函數值．那么根據等高三角形的面積比等于底邊比，可得出當直線BC分三角形PCE的面積為3：1兩部分時，有兩種情況：
（I）EF：PF=3：1；
（II）EF：PF=1：3；然后將上面所說的EF，PF的表達式代入不同的比例關系式中，即可求出P點的坐標．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識，要注意的是（2）（II）中在不確定直線BC分三角形PCE的兩部分誰大誰小的情況下要分類討論，不要漏解．