Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2﹣3ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0，﹣4)與x軸交于點A．B，點A的坐標為(4，0)．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）點D是線段AB上的動點，過點D作DE∥AC，交BC于點E，連接CD．當△CDE的面積最大時，求點D的坐標；

（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點Q(2，0)．問：是否存在這樣的直線l，使得△OQF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）；（3），，，

【解析】

（1）把點A、C代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）設點D坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于G，令y＝0求出點B的坐標，再表示出BD的長，然后根據△EBD和△BAC相似，利用相似三角形對應高的比等于相似比列式表示出EG，再根據S△CDE＝S△BCDS△BED列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）分①QO＝QF時，先求出∠OAC＝45°，再根據等邊對等角可得∠QFA＝45°，然后求出∠AQF＝90°，從而得到點F的坐標，再根據點P、F的縱坐標相同，利用二次函數解析式求解；②QF＝OF時，過點F作FH⊥x軸于H，根據等腰三角形三線合一的性質可得OH＝OQ＝1，再求出HF＝AH，然后寫出點F的坐標，根據點P、F的縱坐標相同，利用二次函數解析式求解；③OQ＝OF時，先求出點O到AC的距離，根據垂線段最短判斷出此時不存在直線l，使△OQF為等腰三角形；

解：（1）把點A(4，0)、C(0，﹣4)代入拋物線解析式y=ax2﹣3ax+c(a≠0)得：

，解得a=1，c=-4，

∴y=x2-3x-4

（2）設點D坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于G，

當y=0時，x2-3x-4=0，解得：，

∴B（-1，0），AB=5，

∴BD=m+1，

∵ED∥AC

∴△BDE∽△BAC，

∴，即，

∴，

∵S△CDE＝S△BCDS△BED，

即S△CDE＝，

∵，

∴當時，△CDE的面積最大，

∴

（3）存在，

①當QO=QF時，

∵A（4,0），Q（2,0）

∴AQ=OQ=QF=2，

∵在RT△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠QFA=∠OAC=45°，

∴∠AQF=90°，

此時F（2，-2）

∵直線l平行于x軸，

∴點P的縱坐標為-2，

∴x2-3x-4=-2，解得：，

∴，

②當QF=OF時，過點F作FH⊥OA于點H，

由等腰三角形“三線合一”可得：OH=，

∴AH=4-1=3

在等腰直角三角形AFH中，AH=HF=3，

∴點F（1，-3）

∵直線l平行于x軸，

∴點P縱坐標為-3，

∴x2-3x-4=-3，解得：

∴，

③當OQ=OF時，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴AC=，

∴點O到AC的距離為，

∵OF=OQ=2，

∴此時，不存在這樣的直線l，使得△OQF是等腰三角形，

綜上所述，點P的坐標為，，，