Question

【題目】（思考題）

閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

小華：等邊三角形一定是奇異三角形；

小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？

（1）①根據“奇異三角形”的定義，小紅得出命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空：命題 （填“正確”或“不正確”），不要說嘛理由．

②若某三角形的三邊長分別是2、4、，則△ABC是奇異三角形嗎？ （填“是”或“不是”），不要說嘛理由．

（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=5、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c的值．

Answer 1

【答案】（1）①正確，②是；（2）當c為斜邊時，Rt△ABC不是奇異三角形；當b為斜邊時，Rt△ABC是奇異三角形；（3）a:b:c=

【解析】

（1）①根據題中所給的奇異三角形的定義判定命題的真假；

②根據題中所給的奇異三角形的定義容易得出結果；

（2）分c是斜邊和b是斜邊兩種情況，再根據勾股定理判斷出所給的三角形是否符合奇異三角形的定義；

（3）先根據勾股定理得出Rt△ABC各邊之間的關系，再根據此三角形是奇異三角形可用a表示出b、c的值，即可得出結果．

(1)①設等邊三角形的邊長為a，

∵，

∴等邊三角形一定是奇異三角形，

∴“等邊三角形一定是奇異三角形”，是真命題；

②若某三角形的三邊長分別是2、4、，

根據奇異三角形的定義可知，

∴此三角形為奇異三角形;

(2)①當c為斜邊時，Rt△ABC不是奇異三角形；

②當b為斜邊時，Rt△ABC是奇異三角形；理由如下：

分兩種情況：

①當c為斜邊時, ，

∴a=b，

∴ (或)，

∴Rt△ABC不是奇異三角形.

②當b為斜邊時，

∵

∴

∴

∴Rt△ABC是奇異三角形.

(3)在Rt△ABC中, ，

∵c>b>a>0

∴，

∵Rt△ABC是奇異三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴a:b:c=.