Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常數）的頂點為P，直線：y=x﹣1

（1）求證：點P在直線上；

（2）當m=﹣3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖），求點M的坐標；

（3）若以拋物線和直線的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（﹣4，﹣3）；（3）m的值為0， ， ， ， ．

【解析】分析：（1）利用配方法得到y=(x-m)+m-1，點P（m，m-1），然后根據一次函數圖象上點的坐標特征判斷點P在直線l上；（2）當m= -3時，拋物線解析式為y=x+6x+5，根據拋物線與x軸的交點問題求出A（-5，0），易得C（0，5），通過解方程組 得P（-3，-4），Q（-2，-3），作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，證明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得，設M（x，x+6x+5），則，解得=0（舍去），= -4，于是得到點M的坐標為（-4，-3）；（3）通過解方程組

得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用兩點間的距離公式得到PQ=2，OQ=2m+2m+1，OP=2m-2m+1，然后分類討論：當PQ=OQ時，2m+2m+1=2；當PQ=OP時，2m-2m+1=2；當OP=OQ時，2m+2m+1=2m-2m+1，再分別解關于m的方程求出m即可．

本題解析：

（1）證明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴點P的坐標為（m，m﹣1），

∵當x=m時，y=x﹣1=m﹣1，

∴點P在直線l上；

（2）解：當m=﹣3時，拋物線解析式為y=x2+6x+5，

當y=0時，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，則A（﹣5，0），

當x=0時，y=x2+6x+5=5，則C（0，5），

可得解方程組，解得或，

則P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），

作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，

∵OA=OC=5，

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴∠MCE=45°﹣∠ACM，

∵QG=3，OG=2，

∴AG=OA﹣OG=3=QG，

∴△AQG為等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，

∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

∴Rt△CME∽Rt△PAF，

∴，

設M（x，x2+6x+5），

∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，

∴，

整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，

∴點M的坐標為（﹣4，﹣3）；

（3）解：解方程組得或，則P（m，m﹣1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，

當PQ=OQ時，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；

當PQ=OP時，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；

當OP=OQ時，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，

綜上所述，m的值為0， ， ， ， ．