Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF和AD．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠EAC＝60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝．

【解析】

（1）連接FO，可根據三角形中位線的性質可判斷易證OF∥AB，然后根據直徑所對的圓周角是直角，可得CE⊥AE，進而知OF⊥CE，然后根據垂徑定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通過Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可證FE為⊙O的切線；

（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分別利用勾股定理分別求出CD,AD的長即可 ．

（1）證明：連接CE，如圖所示：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠AEC＝90°．

∴∠BEC＝90°，

∵點F為BC的中點，

∴EF＝BF＝CF，

∴∠FEC＝∠FCE，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE，

∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，

∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，

∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，

∴△AOE是等邊三角形．

∴∠AOE＝60°，

∴∠COD＝∠AOE＝60°，

∵⊙O的半徑為2，

∴OA＝OC＝2

在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，

∴∠ODC＝30°，

∴OD＝2OC＝4，

∴CD＝．

在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．

∴AD＝＝．