Question

某課外活動小組對課本上的一道習題學習后，進行了拓展應用：
（1）如圖1，是在直線l上找一點P，使得PA+PB最短（畫圖即可）．
（2）如圖2，應用：已知正方形ABCD中，E為AB的中點，在線段BD上找一點P，使得PA+PE的值最小，并說明理由．
（3）探索：E為正方形ABCD的AB邊的中點，如圖3，M為BC上一點，N為CD上一點，連接EM，MN，NA，請你應用（1）的原理在圖2中找出點M，N，使得EM+MN+NA的值最小，畫圖即可．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）作E點關于BD的對稱點E′，連接AE′，與BD的交點即為P點．
因為AP+PE=AP+PE′=AE′，此時A，P，E′三點共線，
所以此時此時PA+PE=AE′最小；

（3）作F 和E關于BC對稱 再作G 和F關于CD對稱，連接AG，當N為AG和CD交點時最小
此時M為NF和BC的交點，
理由：
作了對稱后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≥FN，
當且僅當F，M，N，3點共線時取等號，此時最小，
同理可知道EM+MN+NA最小值．
分析：（1）先作點A關于直線l的對稱點A′，再連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′P+PB=A′B，由“兩點之間，線段最短”可知，點P即為所求的點．
（2）首先作E點關于BD的對稱點E′，再連接AE′，與BD的交點即為P點．此時PA+PE=AE′最小；
（3）首先作F 和E關于BC對稱 再作G 和F關于CD對稱，再連接AG，當N為AG和CD交點時最小，此時M為NF和BC的交點，得出圖形即可．
點評：此題主要考查了運用對稱性解決最短距離問題，特別是（3）中利用軸對稱得出當且僅當F，M，N，3點共線時EM+MN=FM+MN=FN是解決問題的關鍵．