Question

某課外活動小組對課本上的一道習題學習后，進行了拓展應用：
（1）如圖1，是在直線l上找一點P，使得PA+PB最短（畫圖即可）。
（2）如圖2，應用：已知正方形ABCD中，E為AB的中點，在線段BD上找一點P，使得PA+PE的值最小，并說明理由。
（3）探索：E為正方形ABCD的AB邊的中點，如圖3，M為BC上一點，N為CD上一點，連接EM，MN，NA，請你應用（1）的原理在圖2中找出點M，N，使得EM+MN+NA的值最小，畫圖即可。

Answer 1

解：（1）如圖所示：
（2）作E點關于BD的對稱點E'，連接AE'，與BD的交點即為P點。
因為AP+PE=AP+PE'=AE'，此時A，P，E'三點共線，
所以此時此時PA+PE=AE'最小；
（3）作F 和E關于BC對稱
再作G 和F關于CD對稱，連接AG，
當N為AG和CD交點時最小此時M為NF和BC的交點，
理由：作了對稱后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≧FN，
當且僅當F，M，N，3點共線時取等號，此時最小，同理可知道EM+MN+NA最小值。