Question

【題目】如圖，矩形OABC放在以O為原點的平面直角坐標系中，A(3，0)，C(0，2)，點E是AB的中點，點F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，則四邊形MNFE的周長最小值是_____．

Answer 1

【答案】5+

【解析】

作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，此時四邊形MNFE的周長最�。�根據勾股定理和軸對稱性質可求解.

解：由圖可得；E(3，1)；F(1，2)

如圖，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，此時四邊形MNFE的周長最�。�

∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，

設直線E′F′的解析式為y＝kx+b，

有解這個方程組，

得

∴直線E′F′的解析式為．

當y＝0時，x＝，

∴M點的坐標為(，0)．

當x＝0時，y＝，

∴N點的坐標為(0，)．

∵E與E′關于x軸對稱，F與F′關于y軸對稱，

∴NF＝NF′，ME＝ME′．F′B＝4，E′B＝3．

在Rt△BE′F′中，F′E′＝

∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝F′E′＝5．

在Rt△BEF中，EF＝．

∴FN+NM+ME+EF＝5+，

即四邊形MNFE的周長最小值是5+．

故答案為：5+