Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，點E在邊AD上，連接CE，以CE為邊向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足為H，連接AF.

(1)求證：FH＝ED；

(2)當AE為何值時，△AEF的面積最大？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE＝2時，△AEF的面積最大．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得EF=CE，再根據(jù)∠CEF=∠90°，進而可得∠FEH=∠DCE，結(jié)合已知條件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可證明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性質(zhì)可得FH=ED；

（2）設AE=a，用含a的函數(shù)表示△AEF的面積，再利用函數(shù)的最值求面積最大值即可．

(1)證明：∵四邊形CEFG是正方形，∴CE＝EF.

∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，

∴∠FEH＝∠DCE.

在△FEH和△ECD中，

,

∴△FEH≌△ECD，

∴FH＝ED.

(2)解：設AE＝a，則ED＝FH＝4－a，

∴S△AEF＝AE·FH＝a(4－a)＝－ (a－2)2＋2，

∴當AE＝2時，△AEF的面積最大．