Question

【題目】某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：
操作發現：
（1）已知，△ABC，如圖1，分別以AB和AC為邊向△ABC外側作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請你完成作圖 ， 并猜想BE與CD的數量關系是 ． （要求：尺規作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）
類比探究：

（2）如圖2，分別以AB和AC為邊向△ABC外側作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE、BG，則線段CE、BG有什么關系？說明理由．
靈活運用：

（3）如圖3，已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=2 ，BC=3，過點A作EA⊥AC，垂足為A，且滿足AC=AE，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）；BE=CD
（2）

結論：CE=BG且EC⊥BG．

理由：在正方形ABDE和正方形ACFG中，設CE交BG于O，EC交AB于K．

∵AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，

在△ACE和△AGB中，

，

∴△ACE≌△AGB，

∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，

∵∠AKE=∠BKO，

∴∠BOK=∠EAK=90°，

∴EC⊥BG，EC=BG．

（3）

以AB為腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，連接CG．

在Rt△ABG中，∵AB=AG=2

∴BG= =4，

∵∠GBA=∠ABC=45°，

∴∠GBC=90°，

∴CG= =5，

∵AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠EAC=90°，

∴∠GAC=∠EAB，

在△GAC和△EAB中，

，

∴△AGC≌△ABE，

∴CG=BE，

∵CG=5，

∴BE=5．

【解析】解：（1）作圖如下，

猜想：BE=CD．
理由：∵AB=AD．AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB，
∴CD=BE．
所以答案是BE=CD．
【考點精析】利用等邊三角形的性質和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．