Question

【題目】如圖，△在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心、任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，給出下列說法：①DM=DN；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC:S△ABC=1:3，其中正確的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線，再根據(jù)全等三角形的判定定理，垂直平分線的判定方法，含30°的直角三角形的性質(zhì)逐項分析可得正確選項.

解：①如圖，連接DM，DN，

根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線，則∠MAD=∠NAD,AM=AN,AD=AD,由SAS易證△ADM≌△AND，則DM=DN，故①正確；

②∠C=90°，∠B=30°，則∠BAC=60°, 由作圖知AD是∠BAC的平分線，所以∠DAC=30°, ∠ADC=60°,故②正確；

③由②可得∠DAB=30°=∠B，所以AD=BD，所以點D在AB的中垂線上，故③正確；

④∠C=90°，∠DAC =30°，所以AD=2CD，又AD=BD，所以BC=3CD，所以S△DAC:S△ABC=1:3，故④正確；

故選D