Question

【題目】已知，如圖,拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為(1，0)，OC＝3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)若點E在軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式

（2）四邊形ABCD面積有最大值為；

（3）存在3個點符合題意，坐標分別是P1(－2，－3)， ，

【解析】試題分析：(1)、根據題意得出點B和點C的坐標，然后代入函數解析式求出答案；(2)、首先根據點A和點C的坐標得出直線AC的解析式，然后過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N，設點M的坐標為(m，－m－3)，從而得出點D的坐標，求出DM的長度，根據二次函數的性質求出DM的最大值，得出面積的最大值；(3)、①、過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，，將C(0，－3)代入函數解析式求出點P的坐標；②、平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，設出點P的坐標為(x，3)，然后代入函數解析式求出點P的坐標.

試題解析：(1)、∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)． 把點B，C的坐標代入，得

∴拋物線的解析式

(2)、由A（－3,0），C(0，－3)得直線AC的解析式為，

如圖，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N.

設M則D，

∴-1＜0，∴當x＝時，DM有最大值∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

此時四邊形ABCD面積有最大值為.

(3)、存在

①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，

此時四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C(0，－3)，令

∴， .∴P1(－2，－3)．

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)， ，得解得，

此時存在點,

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P1(－2，－3)，