Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線CD，D為切點，點F是弧AD的中點，連接OF并延長交CD于點E，連接BD，BF．

（1）求證：BD∥OE；

（2）若OE＝3，tanC＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑的長3．

【解析】

(1)如圖，由圓的半徑相等可得∠1=∠3，再由圓周角定理可得∠1=∠2，從而可得∠2=∠3，繼而可得結論；

(2)連接OD，如圖，根據切線的性質可得OD⊥CD，根據tanC=，設OD=3k，CD=4k，繼而可得BC=2k，由平行線分線段成比例定理可得 ，繼而可求得DE=6k，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出k的值即可得答案.

(1)∵OB=OF，

∴∠1=∠3，

∵點F是的中點，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BD∥OE；

(2)連接OD，如圖，

∵直線CD是⊙O的切線，

∴OD⊥CD，

在Rt△OCD中，∵tanC=，

∴設OD=3k，CD=4k．

∴OC=5k，BO=3k，

∴BC=2k．

∵BD∥OE，

∴，

即,

∴DE=6k，

在Rt△ODE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴(3)2=(3k)2+(6k)2，

解得k=,

∴OB=3，

即⊙O的半徑的長3．