Question

【題目】如圖，AB 為⊙O 的直徑，C 為⊙O 上一點，AD⊥CE 于點 D，AC 平分∠DAB．

（1） 求證：直線 CE 是⊙O 的切線；

（2） 若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC＝2或4．

【解析】

(1)如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；

(2)證明△DAC∽△CAB，根據相似三角形對應邊成比例進行求解即可.

(1)如圖，連接OC

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴AD∥CO，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端，

∴CD為⊙O的切線；

(2)∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，

∴BCAC=DCAB=4×10=40，

∵BC2+AC2=100，

∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BCAC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BCAC=20，

∴BC+AC=6，AC﹣BC=2或BC﹣AC=2，

∴BC=2或4．