Question

如圖，拋物線y＝x²－2x＋c的頂點A在直線l：y＝x－5上．

(1)求拋物線頂點A的坐標；
(2)設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D(C點在D點的左側)，試判斷△ABD的形狀．

Answer 1

(1)A(1，－4)   (2)△ABD是直角三角形

解：(1)∵頂點 A的橫坐標為x＝－＝1，
且頂點A在y＝x－5上，
∴當x＝1時，y＝1－5＝－4，∴A(1，－4)．
(2)△ABD是直角三角形．
將A(1，－4)代入y＝x²－2x＋c，
可得1－2＋c＝－4，
∴c＝－3，∴y＝x²－2x－3，∴B(0，－3)．
當y＝0時，x²－2x－3＝0，得x₁＝－1，x₂＝3，
∴C(－1，0)，D(3，0)．
∵BD²＝OB²＋OD²＝18，
AB²＝(4－3)²＋1²＝2，AD²＝(3－1)²＋4²＝20，
∴BD²＋AB²＝AD²，∴∠ABD＝90°，
即△ABD是直角三角形．