Question

把兩個三角形按如圖1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，DC=7．把△DCE繞C點順時針旋轉15°，得到△D₁CE₁，如圖2，這時AB與CD₁相交于點O，與D₁E₁相交于點F．
（1）求∠ACD₁的度數；
（2）求AD₁的長；
（3）如果把△D₁CE₁繞C點再順時針旋轉30°，這時點B在△D₁CE₁的內部、外部、還是在邊D₁E₁上？利用圖3，畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE繞C點順時針旋轉15°，
∴∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°；

（2）如圖2所示，連接AD₁，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=AB=×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD1===5（cm）；

（3）點B在△D₁CE₁內部，
理由如下：如圖3，設BC（或延長線）交D₁E₁于點P
則∠PCE₁=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE₁=cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×=3（cm），
在Rt△PCE₁中，CP=CE₁=（cm），
∵CB=3＜，即CB＜CP，
∴點B在△D₁CE₁內部．
分析：（1）利用已知得出∠ACD=30°，進而求出∠ACD₁=30°+15°=45°；
（2）根據OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度數，進而得出∠4=90°，在Rt△AD₁O中根據勾股定理就可以求得AD₁的長；
（3）設BC（或延長線）交D₁E₁于點P，Rt△PCE₁是等腰直角三角形，就可以求出CB的長，判斷B在△D₁CE₁內．
點評：本題主要考查了圖形旋轉的性質以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，正確認識旋轉角，理解旋轉的概念是解題的關鍵．