Question

定義：如果一個y與x的函數圖象經過平移后能與某反比例函數的圖象重合，那么稱這個函數是y與x的“反比例平移函數”．例如：的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的圖象，則是y與x的“反比例平移函數”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面積為8cm²，求y與x的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數”．
（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數”的圖象經過B、E兩點．則這個“反比例平移函數”的表達式為           ；這個“反比例平移函數”的圖象經過適當的變換與某一個反比例函數的圖象重合，請寫出這個反比例函數的表達式．
（3）在（2）的條件下，已知過線段BE中點的一條直線l交這個“反比例平移函數”圖象于P、Q兩點（P在Q的右側），若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．

Answer 1

（1），是；（2），；（3）（7，5）或（15，）．

解析試題分析：（1）根據新矩形的面積為8cm²，則長乘以寬等于面積，即可得到一個關于x，y的方程，即可變形成函數的形式，進行判斷.
（2）把B和D的坐標代入即可列方程求得a、k的值，則函數解析式即可求解.
（3）由反比例函數的中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形，設P₁（x₀，y₀），根據S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．即可列方程求解．
試題解析：（1）∵（x+2）（y+3）=8，
∴向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到.
∴是“反比例平移函數”．
（2）把B和D的坐標代入得：，解得：.
則“反比例平移函數”的表達式為.
故變換后的反比例函數表達式為.
（3）如圖，當點P在點B左側時，設線段BE的中點為F，由反比例函數中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．
∵四邊形PEQB的面積為16，∴S_△PFE=4，
∵B（9，3），F（6，2）．是的“反比例平移函數”，
∴S_△PFE=S_△POE=4，點E的坐標是：（3，1）.
過E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點．
S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．
設P₁（x₀，y₀），
∴，即，解得.
∴P₁（1，3），
∴點P的坐標為（7，5）．
當點P在點B右側時，同理可得點P的坐標為（15，）．
綜上所述，點P的坐標為（7，5）或（15，）．

考點：1.反比例函數綜合題；2.新定義；3.平移的性質；4.轉換思想和分類思想的應用．