Question

如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數圖象的兩支上，且PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，AB分別與x軸，y軸相交于點E、F．已知B（1，3）．
（1）k=       ；
（2）試說明AE=BF；
（3）當四邊形ABCD的面積為時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）3；（2）說明見解析；（3）（1，﹣2）．

解析試題分析：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特，把B（1，3）代入得k=1×3=3.
（2）設A點坐標為（a，），易得D點坐標為（0，），P點坐標為（1，），C點坐標為（1，0），根據圖形與坐標的關系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，則可計算出，加上∠CPD=∠BPA，根據相似的判定得到△PCD∽△PBA，則∠PCD=∠PBA，于是判斷CD∥BA，根據平行四邊形的判定方法易得四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形，所以BE=CD，AF=CD，則BE=AF，于是有AE=BF.
（3）利用四邊形ABCD的面積=S_△PAB﹣S_△PCD得到，整理得2a²+3a=0，然后解方程求出a的值，再寫出P點坐標．
試題解析：解：（1）3.
（2）由（1），反比例函數解析式為，
∵頂點A在反比例函數圖象上，∴設A點坐標為（），
∵PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，
∴D點坐標為（0，），P點坐標為（1，），C點坐標為（1，0）.
∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1.
∴，∴.
又∵∠CPD=∠BPA，∴△PCD∽△PBA. ∴∠PCD=∠PBA. ∴CD∥BA.
又∵BC∥DE，AD∥FC，∴四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形.
∴BE=CD，AF="CD." ∴BE="AF." ∴AF+EF=BE+EF，即AE=BF.
（3）∵四邊形ABCD的面積=S_△PAB﹣S_△PCD，
∴.
整理得2a²+3a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=﹣.
∴P點坐標為（1，﹣2）．
考點：1.反比例函數綜合題；2.曲線上點的坐標與方程的關系；3.相似三角形的判定和性質；4.平行四邊形的判定和性質；5.轉換思想和方程思想的應用．