Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，且CD=4，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN．

（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長．

（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM ．

∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC ．

∴ ∠ANM=∠CMN ．

∴ ∠CMN=∠CNM ．

∴ CM=CN．

（2）如圖，過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵ △CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴ MC=3ND=3HC．

∴ MH=2HC．

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN．

在Rt△CDN中，DC=2x=4，

∴．

∴HM=2．

在Rt△MNH中，MN=．