Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4．現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經過點C時，與x軸的另一交點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．

（1）求a、c的值；

（2）連接OF，求△OEF的周長；

（3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使得以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）20+4；（3）存在，點Q（6，2）或Q（6，3）．

【解析】

（1）根據直角三角形的性質，可得B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），將點代入解析式即可求a，c的值；

（2）求出AB的直線解析為y＝x+2，設F（m，m+2），平移后拋物線解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，將點C（2，0）代入，得平移后拋物線解析式為y＝﹣x2+6x﹣10，進而求出點E的坐標，即可得出結論；

（3）當P在x軸上方時，由△PQE≌△POE，可得QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，OH＝＝2，則Q（6，2）；當P在x軸下方時，PQ＝OE＝10，過點P作PK⊥HF與點K，可證明△PKQ∽△QHE，則，則Q（6，3），即可得出結論.

解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AO＝BC，

∵△ABC面積為4，

∴BCOA＝4，

∴OA＝2，BO＝4，

∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），

∵點A，B在拋物線y＝ax2+c上，

∴，

∴，

即a、c的值分別為﹣和2；

（2）如圖1，連接OF，

由（1）可知：y＝﹣x2+2，

∵B（﹣2，0），A（/span>0，2），

∴AB的直線解析為y＝x+2，

∵平移后拋物線頂點F在射線BA上，

設F（m，m+2），

∴平移后拋物線解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

將點C（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得

﹣（2﹣m）2+m+2＝0，

∴m＝6或m＝0（舍），

∴F（6，8），

∴平移后拋物線解析式為y＝﹣x2+6x﹣10，

當y＝0時，﹣x2+6x﹣10＝0，

∴x＝2或x＝10，

∴E（10，0），

∴OE＝10，

∵F（6，8），

∴OF＝＝10，EF＝＝4，

∴△OEF的周長為OE+OF+EF＝10+10+4＝20+4；

（3）當P在x軸上方時，如圖2，

∵△PQE≌△POE，

∴QE＝OE＝10，

在Rt△QHE中，HQ＝＝2，

∴Q（6，2），

當P在x軸下方時，如圖3，

∵△PQE≌△EOP，

∴PQ＝OE＝10，

過點P作PK⊥HF與點K，

∴PK＝6，

在Rt△PQK中，QK＝＝8，

∵∠PQE＝90°，

∴∠PQK+∠HQE＝90°，

∵∠HQE+∠HEQ＝90°，

∴∠PQK＝∠HEQ，

∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ,

∴，

∴QH＝3，

∴Q（6，3），

綜上所述：滿足條件的點Q（6，2）或Q（6，3）.