Question

如圖，把一個圓形硬紙片等分成三個扇形，用其中一個扇形制作成一個圓錐形紙筒的側面（銜接處無縫隙且不重疊），若每一個扇形的面積都是48πcm²，求：
（1）扇形的弧長；
（2）若另補上圓錐的底部，求圓錐的全面積；
（3）圓錐軸截面底角的正切值．

Answer 1

（1）如圖：扇形的圓心角為：

1

3

×360°=120°，
根據題意得：S_扇形=

120×πR2

360

=48π（cm²），
∴R=12cm，
∴l_扇形=

120πR

180

=

120π×12

180

=8π（cm）；
∴扇形的弧長為：8πcm；

（2）∵8π=2πr，
∴r=4cm，
∴S_全=S_側+S_底=48π+π×4²=64π（cm²）；
∴圓錐的全面積為64πcm²；

（3）∵h=

R2-r2

=

122-42

=8

2

，
∴tanα=

8 2

4

=2

2

．
∴圓錐軸截面底角的正切值為：2

2

．