Question

【題目】在中，，以為斜邊作等腰直角三角形，且點與點在直線的兩側，連接．

（1）如圖1，若，則的度數為______.

　　　

（2）已知，.

①依題意將圖2補全；

②求的長；

小聰通過觀察、實驗、提出猜想，與同學們進行交流，通過討論，形成了求長的幾種想法：

想法1：延長，在延長線上截取，連接．要求的長，需證明，為等腰直角三角形．

想法2：過點作于點，，交的延長線于點，要求的長，需證明，為等腰直角三角形．

……

請參考上面的想法，幫助小聰求出的長（一種方法即可）．

（3）用等式表示線段，，之間的數量關系（直接寫出即可）．

Answer 1

【答案】（1）105度；（2）①將圖2補全見解析；②；（3）．

【解析】

（1）先求出∠CAB＝60°，再利用等腰直角三角形求出∠BAD＝45°，進而求出∠CAD;

（2）①根據題意及基本作圖即可補全圖形；延長，在延長線上截取，連接．要求的長，需證明，為等腰直角三角形再利用等腰直角三角形的性質即可得出解；

（3）同（2）的方法即可得出結論．

（1）∵，

∴∠CAB＝90°-∠ABC=60°

∵△是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°

∴=∠CAB+∠BAD=105°

故答案為：105°．

（2）①補全圖形，如圖2所示．

②延長，在延長線上截取，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠CAD＋∠CBD=180°．

∵∠DBE＋∠CBD=180°，

∴∠CAD＝∠DBE．

∵DA＝DB，AC＝BE，

∴△ACD≌△BED．

∴DC＝DE，∠ADC＝∠BDE．

∴∠CDE＝90°．

∴△CDE為等腰直角三角形．

∵AC＝1，BC＝3，

∴CE＝4．

∵CE2=CD2+DE2，

∴42=CD2+CD2

∴CD＝．

（3）AC＋BC＝CD，

理由：如圖3，延長，在延長線上截取，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠CAD＋∠CBD=180°．

∵∠DBE＋∠CBD=180°，

∴∠CAD＝∠DBE．

∵DA＝DB，AC＝BE，

∴△ACD≌△BED．

∴DC＝DE，∠ADC＝∠BDE．

∴∠CDE＝90°．

∴△CDE為等腰直角三角形．

∴CE2=CD2+DE2，

∴CE＝CD，

∵CE＝BC＋BE＝BC＋AC．

即：AC＋BC＝CD．