Question

如圖所示，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延長線上一點，BE=

10

3

．
（1）求

OD

OE

；
（2）證明：直線DE是半圓O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接OD，作OF⊥CD于點F，根據CD=6利用垂徑定理可得DF，再利用OB+BE即可求出OE．然后即可求出

OD

OE

的值；
（2）由（1）知

DF

OD

=

OD

OE

，利用CD∥AB，求證△DOF∽△OED，可得∠ODE=∠OFD=90°，即可證明直線DE與半圓O相切．

解答：（1）解：連接OD，作OF⊥CD于點F．
∵CD=6，∴DF=

1

2

CD=3．
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

．
∴

OD

OE

=

5

25 3

=

3

5

；
答；

OD

OE

的值為

3

5

；

（2）證明：∵

DF

OD

=

3

5

，
∴由（1）知

DF

OD

=

OD

OE

，
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．
∴△DOF∽△OED，
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直線DE與半圓O相切．

點評：此題主要考查切線的判定，垂徑定理，相似三角形的判定與性質等知識點，解答此題的關鍵是作好輔助線：連接OD，作OF⊥CD于點F．這也是此題的突破點，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．