Question

如圖，AB∥CD．
（1）如果∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度數．請將下面解題過程補充完整．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（

 

）
∴∠EAC+∠BAE+∠ACE+∠DCE=180°∵∠BAE=∠DCE=45°（已知）
∴∠EAC+

 

+∠ACE+

 

=180°（

 

）
∴∠EAC+∠ACE=

 

∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（

 

）
∴∠E=180°-（

 

）=

 

（2）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線，（1）中的結論還成立嗎？試說明理由．
（3）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA內部的任意射線．求證：∠AEC=∠BAE+∠DCE．

Answer 1

分析：（1）我們可以倒推，根據三角形的內角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根據兩直線平行，同旁內角互補的性質?∠EAC+∠ACE=180°-（∠BAE+∠DCE），由此可知∠E=90°；
（2）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線，根據兩直線平行，同旁內角互補的性質?∠EAC+∠ACE=90°，根據三角形的內角和等于180度，?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°；
（3）根據三角形的內角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根據兩直線平行，同旁內角互補的性質?∠BAE+∠DCE
=180°-（∠EAC+∠AEC）?∠E=∠BAE+∠DCE

解答：解：（1）兩直線平行，同旁內角互補；45°；45°；等量代換；90°；
三角形的內角和等于180°；∠EAC+∠ACE；90°．

（2）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（ 兩直線平行，同旁內角互補）
∴AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線（已知）
∴∠EAC+∠ACE=

1

2

∠BAC+

1

2

∠DCA=90°（角平分線的性質）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的內角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°

（3）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAE+∠DCE=180°-（∠EAC+∠AEC）（ 兩直線平行，同旁內角互補）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的內角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）
∴∠E=∠BAE+∠DCE（等量代換）

點評：本題重點考查兩直線平行，同旁內角互補，等量代換，三角形內角和定理等性質的綜合應用，在求證過程中注意于等量之間的代換、準確地識別圖形．