Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，直線：分別與軸、軸交于點、，且與直線：交于點，以線段為邊在直線的下方作正方形，此時點恰好落在軸上．

（1）求出三點的坐標．

（2）求直線的函數表達式．

（3）在（2）的條件下，點是射線上的一個動點，在平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，，，．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B，C的坐標，聯立直線l1，l2的解析式成方程組，通過解方程組可求出點A的坐標；
（2）過點A作AF⊥y軸，垂足為點F，則△ACF≌△CDO，利用全等三角形的性質可求出點D的坐標，根據點C，D的坐標，利用待定系數法即可求出直線CD的解析式；
（3）分OC為對角線及OC為邊兩種情況考慮：①若OC為對角線，由菱形的性質可求出點P的縱坐標，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點P1的坐標；②若OC為邊，設點P的坐標為（m，2m＋6），分CP＝CO和OP＝OC兩種情況，利用兩點間的距離公式可得出關于m的方程，解之取其負值，再將其代入點P的坐標中即可得出點P2，P3的坐標．

（1）∵直線：，

∴當時，；當時，，

∴，，

解方程組：得：，

∴點的坐標為；

（2）如圖1，作，則，

∵四邊形為正方形，

∴，

∵，，

∴，

∵

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴

設直線的解析式為，

將、代入得：，

解得：，

∴直線的解析式為

（3）存在

①以為對角線時，如圖2所示，

則PQ垂直平分CO，

則點P的縱坐標為：，

當y=3時，，解得：x=

∴點；

②以為邊時，如圖2，設點P（m，2m+6），

當CP=CO時，，

解得：（舍去）

∴，

當OP=OC時，，

解得：（舍去）

∴

綜上所述，在平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，，，．